Fraktali
Šta su fraktali?

Verovatno niste ni svesni koliko fraktala i fraktalnih struktura vidite u toku dana svuda oko sebe. Principi koji su sadržani u strukturi fraktalne forme nalaze se u mnogim prirodnim oblicima počev od biljaka i plodova, do oblika planina i planinskih vrhova, oblaka ili rečnog toka.
Sama reč potiče od latinskog “fractus” (razlomljen deo) i označava samosličnost ponavljanja strukture objekta do najsitnijih delova, pa kada ga uveličavamo i dalje ponovo možemo da uočimo istu ili vrlo sličnu strukturu. Vidimo ovakve strukture u oblicima cvetova, listova, u kupusnjačama, ali i u strukturi naših krvnih sudova, bronhijama, alveolama, u različitim prirodnim kristalima počev od pahulja, meda, pa sve do dragocenog kamena. Osim samosličnosti strukture, druga važna karakteristika fraktala je njihova specifična dimenzija, takozvana fraktalna dimenzija.
Šta su generalne osobine fraktalnih struktura ili fraktala:
- svaki fraktal je sam sebi sličan ( u većoj ili manjoj meri, zavisno od vrste fraktala)
- struktura mu je previše “nepravilna” da bi mogla biti opisana euklidovskim terminima
- pokazuje detaljnu i doslednu strukturu kroz prilično mala uvećanja
- ima rekruzivno definisanu strukturu
Zaljubljenici ovog naučnog područja govore da se radi zapravo o jednoj višoj dimenziji koja nadilazi naše razumevanje i vole da je opisuju kao univerzum, božansku prirodu ili otisak tvorca. Jer zaista, ako se dublje pozabavimo suštinom fraktalnog značenja, možemo uočiti sveprožimajuće prisustvo i primenu.
Fraktali u matematici
Ono što dakle vidimo oko sebe u različitim formama, u matematici je definisao i jasno opisao poljsko-američki naučnik Benoit Mandelbrot (1924-2010) u drugoj polovini prošlog veka
“Fraktali su skupovi tačaka čija je fraktalna tj. Hausdorfova dimenzija veća od topološke dimenzije”.
Hajde prvo da razjasnimo šta je fraktalna dimenzija. Obzirom da je površina, prostiranje i strukuralna definicija nekog oblika ili prostora neuhvatljiva i previše složena za matematički opis kroz termine euklidovske geometrije, bilo je potrebno definisati nov tip, odnosno nov sistem kojim bi se mogle opisati komplikovane samoslične strukture.
Dobili smo fraktalnu geometriju.
Ona opisuje fraktalnu dimenziju kao broj koji nam govori u kojoj je meri struktura koja je fraktal, razlomljena ili sekvencirana po obodu tj. celoj površini. Hausdorfova tj. fraktalna dimenzija je uvek veća (ili jednaka ) topološkoj dimenziji.
Topološka dimenzija nam je nešto bliža jer je vrlo slična našem intuitivnom razumevanju dimenzija euklidovskog prostora, gde su dimenzije jasno definisane cele veličine i možemo ih razumeti kao broj pravaca kojima se potencijalno krećemo unutar određenog prostora. (gore-dole, levo -desno itd).
Kako smo već pomenuli osim fraktalne dimenzije , druga važna osobina fraktala je samosličnost. To je svojstvo da svaki objekt ima strukturu koja je sačinjena od bezbroj malih kopija celog objekta. Fraktal se sadrži sam u sebi i može biti opisan bilo kojim delom svoje strukture, kao celina.
Postoji više vrsta fraktala:
- apsolutno samoslični ili geometrijski fraktali: isti su na svim nivoima uvećanja – bez obzira koji deo uvećamo uvek dobijemo sliku koja je identična početnoj. ( Cantorov skup, Sierpinski trougao, Kochova pahuljica, Pitagorino stablo)
- kvazi samoslični fraktali ili algebarski fraktali: njihova samosličnost je malo manja i karakteriše ih sličnost kopija koje ne sadrže ceo fraktal, ali su približno slične – lako se prepoznaju kroz sve stepene uvećanja. (Julijin i Mandelbrotov skup)
- statistički fraktali su oni koji su najmanje samoslični , gde nema samosličnog ponavljanja ali ima postojanja kontinuirane fraktalne dimenzije koje su iste u svim nivoima uvećanja (Lorencov atraktor, Perlinov šum i Braunovo kretanje)

Kohova kriva i Kohova pahulja
Foto credit Zorica Dražić, matematički fakultet BU
Fraktale takodje delimo i po načinu njihovog nastanka:
- Iterirani
– oni koji nastaju iteracijom generatora i umnožavanjem svakog novo dobijenog motiva
– sistemom iteriranih funkcija afinog preslikavanja (rotacija, translacija, kontrakcija,simetrija)
- rekruzivni fraktali, koji odredjuju da li neka tačka pripada odredjenom skupu ili ne
- slučajni fraktali, najčešći primeri su iz prirode
Obe uslovno rečeno podele, su sinhrone i logične. Oni fraktali koji nastaju iteracijom su potpuno samoslični, a oni koji nastaju rekurzivno su kvazi samoslični. Slučajni su dakle oni koji su najmanje samoslični tj. statistički fraktali.
Iako postoje tehnike medju tzv. umetničkim fraktalima koje se bave i geometrijskim tj iteriranim fraktalnim strukturama, u teorijskoj osnovi metode fraktalnog crteža stoje algebarski tj rekruzivni fraktali, pre svega Mandelbrotov skup, kao i srodni tipovi.
Julija Gaston (1893-1978) je fransuski matematičar koji je proučavao kvadratnu funkciju skupova kompleksnih brojeva u kompleksnoj ravni. Kompleksni brojevi su proširenje skupa realnih brojeva i sastoje se od realnog i imaginarnog dela. Realni brojevi se nalaze na brojevnom nizu, dok se su kompleksni smešteni u ravni. To je tzv kompleksna ili Gussova ravan i sastoji se od realne i imaginarne ose. Julijevi skupovi nalaze se u kompleksnoj ravni i odredjeni su rekruzivnom funkcijom. Julijev skup je granica dva skupa tačaka ravni, gde skup konvergira nekoj vrednosti posle odredjenog broja iteracija, ali i takodje divergira tj teži u beskonačnost.
Sa dolaskom moćnijih računarskih mašina, ovu formulu koja je razvijena još u prvoj polovini 20. veka, nastavlja da istražuje i dalje razvija Mandelbrot, jer dobija mogućnost ogromne multiplikacije i ovaj put računarskog iscrtavanja položaja svake tačke skupa, što sam Julija u trenutku nastanka formule nije imao dostupno. Koristeći kompjutersku grafiku i fraktalnu geometriju prvi put je bilo moguće videti ove izračune u vizuelnom obliku.
Mandelbrot nadalje proučava rekruzivnu funkciju Julijevih skupova i stvara grafičku strukturu koja opisuje ponašanje kompleksnog broja u odnosu na pripadanje zatvorenom skupu koji je konvergentan ili divergentan. Mandelbrotov skup je zatvoren skup gde su sve tačke skupa unutar poluprečnika 2 sa središtem u koordinatnom početku. Odnosno, ako je apsolutna vrednost veća od 2, niz će težiti u beskonačnost tj. divergirati.

U ovoj galeriji uvećanja Mandelbrotovog skupa, poslednja slika bi bila širine oko 19 miliona km.
Kada velikim brojem iteracija ustanovimo da neka tačka izadje iz skupa, tada ona nije deo Mandelbrotovog skupa. Kompjuterski generisane grafičke predstave ovih skupova su izuzetno prijatne i očaravaju našu pažnju, jer je moguće svakoj sledećoj iteraciji menjati tonalitete boja i time dobijati izvrsnu vizuelnu kreaciju.
Fascinantno je da se ova uvećavanja mogu raditi do u beskonačnost i postoje mišljenja da je Mandelbrotov skup najsloženiji objekat u matematici, a njegova primena je već danas mnogobrojna. Vidimo da ga se koristi u seizmologiji, biologiji, kartografiji, medicini, vojnoj industriji, pa čak i antene naših mobilnih telefona su u formi geometrijskih fraktala.
FRAKTALI U UMETNOSTI
Nakon što su nam moćne računarske mašine i programi postali dostupni, fraktalna geometrija dobija veliku pažnju i očarava umetnike širom sveta.
Zato sam termin Fraktalna Umetnost ili Fraktal Art vezujemo za korišćenje specijalizovanih kompjuterskih programa kojima se umetnici koriste da bi generisali odredjenu formu. Umetnik dakle mora poznavati i funkcije takvog programa, koji za njega sada postaje dleto, četkica, platno i boje. Nešto slično se dešava i u tzv. elektronskoj muzici, mada ovu vrstu vizuelne kreacije je moguće stvarati samo putem računara. Dakle računar je pomoćnik u tom procesu, neka vrsta alata kojim će umetnik stvarati svoj izraz, iskazati emociju, energiju, stanje.

Iran – Isfahan Foto credit Parametric Architecture project
Osim ovog slobodnog izraza i umetničkog doživljaja, već se razvijaju i raznovrsni programi koji koriste fraktalnu strukturu za kompresiju digitalnih fotografija u fraktalne formule. Time ne samo da bi zauzimale manji memorijski prostor, već bi tako formatirane digitalne fotografije mogle biti uvećavane na način da ne gube na oštrini slike tj količini informacija. Ovo su naravno projekti u fazi istraživanja, ali pokazuju u kojem pravcu se možemo kretati.
Fraktalne forme i inspiracija koja je preko njih stizala u različite umetničke tvorevine lako se može pratiti kroz istoriju umetnosti – počev od prehrišćanskih i rano hrišćanskih dekorativnih oblika na svakodnevnim predmetima i tkaninama, pa preko antičkih ornamenata i mozaika, u islamskoj umetnosti, umetnosti bliskog i dalekog istoka. Principe vidimo i u ornamentici i u arhitekturi i u harmonijskom strukturalnom formiranju ravnoteže umetničkih dela.
U stvaralaštvu koje je inspirisano prirodom i oblicima koje umetnici prenose na platno, još Filostrat govori o “slikama u oblacima” (dr.N.Milićević, 2017.), a Leonardo u svom Traktatu o slikarstvu, pokazuje metod sa amorfnim mrljama, koji navodi um na različita otkrića. Savetuje prijatelje umetnike kako da obogate imaginaciju: “ Ako posmatrate stari zid pokriven prljavštinom, ili čudne oblike kamena, možete da otkrijete više toga: pejsaže, bitke, oblake, neobične položaje, zanimljiva lica, draperije itd. Iz ove konfuzne mase objekata, vaš um će se hraniti i proizvesti bogatstvo novih tvorevina”.
Kasnije će i neki slikari romantizma i realizma koristiti ovaj princip u slikanju pejsaža koji će dosta precizno i verno dočaravati ili prirodne pojave ili stanja duše. Manje poznat, ali dosta zanimljiv za ovu putanju koju pratimo je Alexander Cozens (1717-1786), britanski pejzažista 18. veka rodjen u Rusiji, koji čak izdaje vrstu priručnika za “Nov metod koji pomaže u intervencijama na originalnim kompozicijama pejsaža” , 1785. godine. Priručnik sadrži šesnaest reprodukcija u akvatinti nastalih od spontanih mrlja, koje je u mezotinti vešto dovršio u gotove slike. Od dvodimenzionalnih struktura vešto je stvorio arhitekturu, planine, oblake, romantične ruševine. Iako je tematika karakteristična za njegovo vreme, one i danas izgledaju vrlo moderno.

Alexander Cozens, Plate 6 (c.1785) Foto credit Tate UK
Zatim preko impresionista i poentilista uranjamo u neku vrstu pred-digitalne ekspresivnosti, koja koristeći princip slučajnih, ali harmoničnih mrlja donosi efektivan umetnički doživljaj.
Moderna, bez sumnje vrlo često i vešto koristi princip fraktalne dimenzije, pa je dijapazon umetnika veliki i raznolik: ruski suprematisti, Kandinski, Kle, Rodčenko, Dali, Kupka, Ešer,Polok, i mnogi drugi…

Jackson Pollock. 1952.
Photo credit Nacionalna galerija Australije, Kanbera. vlasništvo 1973. © Pollock-Krasner Foundation/ARS